指数套利程式交易的原理

    程式交易的类型中最为人熟知的是股票对期货的指数套利交易，它从市场短期的无效中赚取利润。市场无效指的是市场偏离它的合理（或者说理论）价值，或者是两个相关的市场或金融工具偏离传统的关系或差价。
若股票的价值（例如标准普尔500指数的成分股）偏离它与标准普尔500指数期货的价值关系。根据这种偏离进行的交易是无风险的，不过偏离通常是很小、很短暂的。程式交易的公司必须用一些复杂的技术识别出这些交易，并且交易大量的资本，至少1千万，在市场的一边买进，在另一边卖出，从中获利。每天CNBC列出公平价值以及程式买进和卖出的水平。
1、不考虑交易成本下的指数套利
为了认识股价指数期货价值与股市有什么样的联系，这种联系如何形成程式交易的基础。我们来分析期货相对股票的公平价值的概念以及它的意义。为便于理解，我们暂时先不考虑交易中的成本。
股价指数（现货市场）和股指期货之间存在数学关系。它们之间的价格差被称为升水，当升水的数值过大或过小时，程式交易者将买进股票，卖出期货（这被称为买进程式），或卖出股票，买进期货（这被称为卖出程式），使得现货和期货之间的关系回到原来的关系。
怎样算是过大，怎样算是过小的呢？现货和期货之间的价格差如何？理论关系即所谓的公平价值是根据下面公式计算的？
期货的公平价值(FVF) = U - D
U =现货指数值
I =利率
T =期货合约的到期时间（以天表示）
D =股息值
该公式背后的逻辑如下：股指期货的价值为现货指数的当前值加上借款买指数成分股的成本减去你作为股东获得的股息。所有这些值要用时间价值表示。例如，标准普尔500收盘价为1400，短期利率为6%，指数期货还有25天到期，期间无股息支付。那么期货的公平价值为1,405.75 (1400 - 0)。也就是说，第二天开盘时期货的公平价值应比股指前一天收盘值高5.75 (1,405.75 - 1,400)点。若在交易日，市场上升50点到1450点，那么公平价值上升到1455.96即比目前的现货指数值高6点。可见，指数值越高，它与期货的公平价值之间的差距越大。
一般来说，股指期货的价值比股指现货值要大。但是，当它们之间的差距很大时，也就是说，期货价格远高于它的公平价值，那么程式交易者预期到两者之间的价格差将回复正常水平，将执行买进程式。反过来，当它们之间的差距很小时，也就是说，期货价格远低于它的公平价值，那么程式交易者认为期货价值被低估，股票价值被高估，因此将执行卖出程式。结果都是期货价格与现货价格之间的关系回到公平的关系上。
现货值和期货值关系的偏离一个最基本的原因是期货的交易成本较低，交易期货较便宜。例如，如果有一条牛市的消息，动作最快的交易者将迅速买进期货，这将推动期货价格向上，但股票价格并未立即受到影响。现在期货的价格高于公平值，程式交易套利者将卖出相对高估的期货，买进相对低估的股票来对冲。事实上，由于套利者卖出高估的期货，买进低估的现货，可见套利交易有抚平市场的作用。因此整个过程是，先是消息冲击交易成本较小的期货市场，接着触发指数套利程式交易，然后程式交易使期货市场与现货市场的达到平衡。
比如，期货价格高于公平价值两点，交易者在卖出期货合约的同时买进股票，头寸就可以处于中性，几乎没有风险，预期两个市场回到理论关系要求两点消失，从而获利。
指数期货合约一点的价值为250元，两点的不同意味着交易一份期货将得到无风险的500元利润。如果这足以抵偿所有的成本，比如差价和手续费，那么计算机将指示交易。
回到公式，很明显，利率越低，公平价值越低。但是，因为利率水平对我们每个人都不一定相同，所以程式交易不一定适用于所有人。例如，假设前面的例子中一个大的投资银行利率为6%，如果你的利率为7%，那么公平价值为1406.70，比前面的例子高出一个点。
上述关系有时也被表述为持有成本和基差的关系。所谓基差，指的是期货价格与现货价格之差。买进期货和买股票相比，在交割时间上期货是到期才交割，持有成本指的就是买进股票到期货到期这段时间放弃的收益，或者说持有股票的机会成本，它等于股票在这段时间经风险调整后的必要收益减去股息再投资收益。
预期的持有成本和基差之间有密切关系。我们举个例子，假设股价指数只包含一只股票。1月21日该股票的现货价格为50元，指数相应为50，从1月21日到4月21日这后三个月预期的持有成本为每股1.50元，如果4月份到期的股指期货合约目前的价格52元，那么2元的基差（52-50）超过预期的持有成本1.50元。套利者将以52元的价格卖出一份4月份期货，以50元买进一份股票现货。
套利者这样操作的原因是他相信4月份期货的价格将下跌到51.50元（即现货价格加上预期的持有成本）。在51.50这个价格，他将买进一份4月份期货合约来平仓他的期货头寸。他可获得的每张合约的利润为0.50元，即期货合约的卖出价52元减去平仓该合约的成本51.50元。
当市场方向不明确或易波动时机构投资者常常用到对冲技术。套利者持有的现货多头是用来对冲他的期货空头的，以防股票价格的变动。例如，假设套利者卖出期货并买进股票之后4月份期货价格和现货价格都立刻上升了3元。这时，4月份期货价格上升到每张合约55元，现货价格上涨到每股53元。在价格变化后，基差为55-53=2元仍然比预期的持有成本1.50元大0.50元。所以套利者预期4月份期货价格将下跌到每张合约54.50元。在54.50元这个价格，他将平仓掉在期货的空头寸，每张合约的损失为2.50元（52-54.50）。但他在现货头寸上每股盈利3元（53-50），因此他的净利润为0.50元（3-2.50），与前一种情况相等。通过在现货市场对冲，套利者能保护预期的利润不受未预期到的股票价格波动的影响。我们来看另一种可能，假设4月份期货的价格为51元，这时基差为1元，小于预期的持有成本1.50元。套利者将卖空股票，买进4月份期货。套利者预期4月份期货的价格将上升到每股51.50元，在这个价格，他将卖出期货合约，每张合约盈利0.50元（51.50-51）。同样的，他在现货的空头寸能保护预期利润不受股票价格波动的影响。
我们实际上交易的股指期货的标的股票指数包含了一篮子股票。在原理上，持有成本的计算是相同的。但是在实际操作中有两个重要的不同。首先，因为，股票指数表示一个相当分散的股票组合，而且指数套利对冲的是股票组合未被预期的变动，所以这些交易相应的贴现率为无风险的收益率，典型的无风险利率为短期货币市场工具的收益率。另一个不同是要计算持有成本，套利者就必须了解指数包含的所有公司的股利政策。这些计算必须迅速切准确地做出，因为机会稍纵即逝。